调和框架与部分傅里叶集下的 Sigma Delta 量化

Sigma Delta 量化是一种最早出现于 20 世纪 60 年代的量化方法，现已广泛应用于相机、手机、雷达等各种数字产品中。该方法以高于奈奎斯特速率的采样率对输入信号进行采样，从而实现对量化噪声的极强鲁棒性。压缩感知（CS）是一种节约型采集方法，它利用信号可能的稀疏性来减少无损采集所需的样本数。人们可以将减少后的样本数视为稀疏信号集的有效维度，并据此将有效过采样率定义为实际采样率与有效维度的比值。一个自然的猜想是，先前被证明随原始过采样率衰减的 Sigma Delta 量化误差，在压缩感知体制下应当随有效过采样率衰减。证实这一直觉是该方向的主要目标之一。迄今为止，CS 中的量化研究仅限于证明当比特数和/或样本数趋于无穷时，高斯和次高斯感知矩阵的错误收敛结果。在本文中，我们针对更实际的傅里叶感知矩阵给出了首个结果。主要思想是在将傅里叶样本送入量化器之前对其进行随机置换。我们表明，随机置换能有效增加测量的低频功率，从而提升 $\Sigma\Delta$ 量化的质量。