一类指数精度的最优一位 Sigma-Delta 量化方案

Sigma-Delta 调制是一种流行的带限信号模数转换方法，它采用粗量化结合过采样。该方法误差分析的标准数学模型，通过关联重建误差随过采样率 $\lambda$ 衰减的速率来衡量给定方案的性能。最近的研究表明，通过适当的单比特 Sigma-Delta 调制方案可以实现 $O(2^{-r\lambda})$ 形式的指数精度。根据一般信息熵论证，$r$ 必须小于 1。目前已知 $r$ 的最佳值约为 0.088。为实现该精度而设计的方案采用了“贪婪”量化规则，并结合了属于我们称之为“最小支撑”类的反馈滤波器。在本文中，我们研究了对应于优化此类反馈滤波器误差衰减速率的最小化问题。我们精确求解了该问题的一个松弛版本，并给出了解的显式渐近性。从这些松弛解中，我们找到了原问题的渐近最优解，将已知最佳指数误差衰减率提升至 $r \approx 0.102$。我们的方法借鉴了正交多项式理论；特别地，它将最优滤波器与第二类 Chebyshev 多项式的零点集联系了起来。