Hölder连续函数的光滑化TV正则化

本工作旨在探索光滑化总变分(smoothed-TV)正则化对于Hölder连续函数类的正则性质。在一些紧凸区域 $\Omega$ 上，我们研究多元函数 $\varphi(\mathbf{x}) :\Omega \subset \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ 的构造，将其作为如下凸最小化问题的优化解 \begin{equation} \min_{\Omega} \left\{F_{\alpha}(\cdot, f^{\delta}) := \frac{1}{2} \Vert \mathcal{T}(\cdot) - f^{\delta} \Vert_{\mathcal{H}}^2 + \alpha J(\cdot) \right\}, \end{equation} 其中惩罚项 $J(\cdot) : \mathcal{C}^{1}(\Omega,\mathbb{R}^{3})\rightarrow \mathbb{R}_{+}$ 是光滑化总变分惩罚项 \begin{equation} J(\cdot) = \int_{\Omega} \sqrt{\Vert\nabla(\cdot)\Vert_2^2 + \beta} d \mathbf{x}, \end{equation} 对于固定的 $0 < \beta < 1.$ 我们假设目标函数为Hölder连续。在此假设下，我们建立了目标函数的总变分与其Hölder系数之间的关系。我们通过估计偏差 $\Vert\mathcal{T}\varphi_{\alpha} - f^{\delta}\Vert \leq \tau\delta,$ 对于某个固定 $\tau \geq 1,$ 证明了光滑化-TV正则化是一种可接受的正则化策略。为此，我们需要假设目标函数属于 $\mathcal{C}^{1+}(\Omega)$ 类。由此，在惩罚项 $J(\cdot)$ 强凸的事实下，我们进一步展示了 $\Vert\varphi_{\alpha} - \varphi^{\dagger}\Vert$ 的收敛性，其中 $\varphi_{\alpha}$ 是最优解而 $\varphi^{\dagger}$ 是上述给定最小化问题的真实解。我们证明了强凸性与 $2-$凸性实际上是同一概念的不同名称。除这些事实外，我们利用Bregman散度来量化收敛速率。