自适应各向异性全变分——一种非线性谱分析

求解逆问题的一个基本概念是使用正则化子，以得到更物理且振荡更少的解。全变分（TV）已被广泛用作保边正则化子。然而，物体常被TV过度正则化，变成低曲率的类凸块结构。Andreau等人通过分析从数学上解释了该现象：他们表明TV正则化子可在空间上完美保留形如 $\lambda u \in \partial J_{TV}(u)$ 的非线性特征函数集合，其中 $\partial J_{TV}(u)$ 为TV次微分。对TV而言，这些形状是低曲率的凸集。更好地保留结构的一种引人注目方法是使用各向异性泛函，其以图像驱动的方式自适应正则化，沿边缘强正则化、跨边缘弱正则化。这遵循了Weickert早期关于各向异性扩散的思想，其并非直接源于泛函极小化。自适应各向异性TV（A$^2$TV）在过去十年的若干研究中已成功使用。然而，迄今尚无理论阐明可被完美保留的结构类型。本研究探讨此问题。我们依托Burger等人近期发展的关于单齐次泛函非线性谱分析的理论。我们得到，满足 $\lambda u \in \partial J_{A^2TV}(u)$ 的特征函数集合，在A$^2$TV流或带 $L^2$ 平方保真项的极小化下被完美保留。因此我们理论与数值地研究这些特征函数。我们证明非凸集在特定条件下可为特征函数，并提供数值结果，很好地刻画了泛函局部各向异性程度与所容许最大曲率之间的关系。