Komlós猜想的平滑分析

著名的Komlós猜想指出，给定$\mathbb{R}^d$中$n$个欧氏范数至多为1的向量，总存在一种$\pm 1$着色，使得带符号和向量的$\ell_{\infty}$范数是与$n$和$d$无关的常数。我们证明了在平滑分析设定下该猜想成立：向量通过加入少量高斯噪声被扰动，且向量个数$n =\omega(d\log d)$。$n$对$d$的依赖即使在完全随机的设定下也是最优可能的。我们的证明依赖于加权二阶矩方法，其中我们不对均匀随机着色考虑，而是将二阶矩方法应用于通过对一组合适向量运行Gram-Schmidt游走算法得到的着色上的隐式分布。主要技术思想是利用这些着色的各种性质，包括次高斯性，来控制二阶矩。