拟解析或超全纯方程的光滑解

在本文的第一部分，我们考虑一个多项式 $\phi(x,y)=y^d+a_1(x)y^{d-1}+...+a_d(x)$，其系数 $a_j$ 属于Denjoy-Carleman拟解析局部环 $\mathcal{E}_1(M)$。假设 $\mathcal{E}_1(M)$ 在求导下稳定，我们证明如果 $h$ 是一个 $C^\infty$ 函数芽，使得 $\phi(x,h(x))=0$，那么 $h$ 属于 $\mathcal{E}_1(M)$。这推广了一个关于实解析函数的众所周知的事实。我们还证明，该结果对于非拟解析的超可微局部环一般不成立。在论文的第二部分，我们在对数黎曼曲面上的扇区上的超全纯函数框架下研究了一个类似问题。我们得到了一个包含合适的非拟解析情况的结果。