具安全约束与可达-避免-停留规范的渐近稳定的光滑逆 Lyapunov-Barrier 定理

稳定性与安全性是动力系统安全关键控制的两个重要方面。控制理论中已确立的事实是，稳定性可由 Lyapunov 函数刻画。有限时间稳定性的可达性性质也可由 Lyapunov 函数自然捕获。受自主系统与机器人等安全关键控制应用的推动，近期使用障碍函数刻画安全性状的兴趣激增。然而，Lyapunov 与障碍函数条件有时被视为竞争性目标。本文中，我们就具安全保证与可达-避免-停留型规范的稳定性性质之逆定理，给出 Lyapunov 与障碍函数的统一理论处理。我们证明，若一系统（建模为带可测扰动的动力系统）具有带安全性的稳定性性质，则存在一光滑 Lyapunov 函数可证此性质。该 Lyapunov 函数定义于满足此性质的解所对应的全体初始条件集合上。对可达-避免-停留规范给出类似但稍弱的结论。我们通过一简单例子说明，若无额外假设，后一结论不能被加强。我们进一步将结果推广至带控制输入的系统，并证明可达-避免规范之逆 Lyapunov-barrier 函数的存在性。尽管如经典逆 Lyapunov 定理一般，逆 Lyapunov-barrier 定理非构造性，我们相信以单一 Lyapunov-barrier 函数给出的统一充要条件是具理论意义的，并有望为计算方法提供启示。