KdV 方程的小时间渐近与复奇点的出现

尽管 Korteweg-de Vries (KdV) 方程的实值解在过去 50 年中得到了广泛研究，但复平面上的解行为却鲜受关注。在此，我们考虑 KdV 实解的解析延拓，并研究复平面奇点在实轴上早期时间解中所起的作用。我们应用指数渐近技术推导了沿单一方向传播的色散波的小时间行为，并展示了这些波的振幅、波长和速度如何依赖于初始条件在复平面中双极点奇点的强度和位置。利用极限 $t\rightarrow 0^+$ 下的匹配渐近展开，我们展示了 KdV 方程含时解的复奇点是如何从这些双极点奇点中出现的。一般而言，它们离开初始位置的速度为 $\mathcal{O}(t^{-2/3})$，而这些奇点最初传播的方向由具有递减 tritronquée 解的 Painlevé II (P$_{\mathrm{II}}$) 问题决定。著名的 KdV $N$-孤子解对应于具有有限数量奇点的 P$_{\mathrm{II}}$ 的有理解；否则，我们假设 KdV 解的无限多个复平面奇点诞生于初始条件的每个双极点奇点处。我们还为奇点传播比一般情况更慢的一些非一般情况提供了渐近结果。我们的研究在提供复平面 KdV 解的完整描述，进而将该行为与实轴上的解相关联的目标上取得了进展。