小覆盖与2-环面流形的等变配边分类

结合Davis-Januszkiewicz的小覆盖理论，本文从等变配边的角度研究2-环面流形理论。我们在Conner和Floyd引入的无向$G_n$-表示代数的“对偶”代数上定义了一个微分算子，其中$G_n=(\Z_2)^n$。借助$G_n$-着色图（或模2 GKM图），我们可以利用该微分算子非常简洁地描述2-环面流形框架下的tom Dieck-Kosniowski-Stong局部化定理。然后，我们应用该定理研究$n$维2-环面流形的$G_n$-等变无向配边分类。我们证明，每个$n$维2-环面流形的$G_n$-等变无向配边类中都包含一个$n$维小覆盖作为其代表，从而解决了文献[19]中提出的猜想。此外，我们还得到，由所有可能维数的2-环面流形的等变无向配边类构成的阶化非交换环，是由所有广义实Bott流形（作为单纯形乘积上的特殊小覆盖）的类生成的。这为$G_n$-等变配边群或环的计算与Davis-Januszkiewicz的小覆盖理论之间建立了紧密联系。作为计算应用，借助计算机，我们完全确定了所有4维2-环面流形的等变配边类构成的群的结构。最后，我们给出了2-环面流形、着色多项式、着色简单凸多胞体与着色图之间的一些基本关系。