缓变控制参数、延迟分岔与反应扩散系统中的尖峰稳定性

我们给出了反应扩散系统尖峰解的三个延迟分岔实例。当系统从稳定状态缓慢过渡到不稳定状态时，便会产生延迟效应，此前在 [P.Mandel, T.Erneux, J.Stat.Phys, 1987] 中已在 ODE 的背景下对其进行了分析。研究发现，只有当系统深入不稳定区域时，不稳定性才会完全显现。相对于直接由线性稳定性分析计算出的阈值，该分岔被认为发生了“延迟”。相比之下，我们分析了 PDE 系统中的延迟效应。具体而言，针对奇摄动广义 Gierer-Meinhardt (GM) 和 Gray-Scott (GS) 模型的尖峰解，我们分析了由缓慢进入振荡不稳定和竞争不稳定区域所导致的三个延迟实例。在第一个实例中，针对无限实轴上的 GM 模型，我们分析了通过缓慢调节控制参数穿过 Hopf 分岔而产生的延迟。在第二个实例中，我们考虑了有限一维区域上的 Hopf 分岔。在此情形下，与通过分岔值对系统参数进行外部调节不同，我们分析了由 PDE 系统缓慢内在动力学触发的分岔延迟。在第三个实例中，我们考虑了由进料速率参数外部调节触发的 GS 模型竞争不稳定性。在所有情形中，我们发现系统必须深入不稳定区域后才能完全观察到不稳定性的出现，这表明了延迟的存在。我们还发现，延迟对系统在不稳定区域内的最终动力学具有重要影响。我们通过分析某些显式可解的非局部特征值问题，给出了延迟大小的解析预测。该理论得到了完整 PDE 系统数值解的证实。