重尾环境诱导的几何分支过程代际规模的慢变现象

受 Kozlov 等人（1975）开创性论文的启发，本文考虑一种几何 offspring 分布的分支过程，其由随机成功概率 $A$ 参数化，且每代移民数为 $1$。与上述文章不同，我们假设环境为重尾的，即 $\log A^{-1} (1-A)$ 以参数 $\alpha>1$ 正则变化，亦即 ${\bf P} \Big( \log A^{-1} (1-A) > x \Big) = x^{-\alpha} L(x)$，其中 $L$ 为缓变函数。我们将证明，尽管 offspring 分布为轻尾的，环境本身可产生第 $n$ 代种群分布的极重尾，且随 $n$ 增大而更重。确切地，本文证明对大的 $m$，第 $l$ 代种群 $Z_l$ 的渐近尾 ${\bf P}(Z_l \ge m)$ 量级为 $\Big(\log^{(l)} m \Big)^{-\alpha} L \Big(\log^{(l)} m \Big)$，其中 $\log^{(l)} m = \log \ldots \log m$。证明主要基于 Tauberian 定理。利用此结果，我们也分析了由 $(0,1)$ 值随机变量 $A$ 的独立拷贝 $(A_i : i \in \mathbb{Z})$ 所创随机环境中邻域随机游走的游走者首次击中状态 $n \in \mathbb{Z}$ 的首达时 $T_n$ 的渐近行为。此版本与最终版不同，因其包含对代际规模尾行为的另一证明，该证明不甚精细（缺常数）但完全避免基于 Tauberian 定理的论证。此证明可能具有独立意义。