行列式的slice rank与partition rank

Laplace展开将$n \times n$行列式$\det_n$表示为$n$个乘积的和。是否存在更短的展开式？本文回答了这一问题： - 完全确定$\det_n$的slice rank分解（其中每个乘积必须包含一个线性因子）：在这种情况下，我们证明需要$n$个 summand，并且唯一具有$n$个 summand的展开式（在严格意义上）等价于Laplace展开。 - 给出$\det_n$partition rank的对数下界（其中每个乘积为多线性式）：在这种情况下，我们证明至少需要$\log_2(n)+1$个 summand。我们还解释了现有技术为何无法获得任何非平凡下界，以及为何我们新方法无法给出超对数下界。 - 将partition rank与slice rank在$\det_n$上区分：我们找到了一个在任意域上$\det_4$的二次展开式，其 summand数目少于Laplace展开式。该构造与Green-Tao和Lovett-Meshulam-Samorodnitsky对小域上Gowers逆猜想假说的机械化版本有关。这些问题的重要动机来自于分离张量的结构与随机性的挑战。一方面，我们显示，随机构造无法实现分离：对于partition rank为$r$的随机张量，分析秩为$r-o(1)$的概率趋于1。另一方面，我们的结果表明，行列式给出了partition rank与分析秩之间第一个渐进分离，二者的比率随$d$趋于无穷大。