算子值微分 Lyapunov 与 Riccati 方程的奇异值衰减
最优化与控制
2018-08-14 v2 数值分析
摘要
我们考虑算子值微分 Lyapunov 和 Riccati 方程，其中算子 和 相对于 （按标准记号）可能是无界相对的。在此设定下，我们证明在某些条件下解的奇异值快速衰减。事实上，若 生成解析半群且 的值域维数有限，则衰减在负平方根意义上是指数的。这将先前代数方程的类似结果推广到微分情形。当初始条件为零时，我们还证明奇异值随时间趋于零而收敛到零，其速率依赖于 的无界程度。奇异值的快速衰减对应于低数值秩，这是大规模应用中的关键特征。本文结果提供了一个理论依据，解释了实践中通常存在低秩分解的观察现象。
引用
@article{arxiv.1804.02197,
title = {Singular value decay of operator-valued differential Lyapunov and Riccati equations},
author = {Tony Stillfjord},
journal= {arXiv preprint arXiv:1804.02197},
year = {2018}
}
备注
Corrected some misconceptions, which lead to more general results (e.g. exponential stability is no longer required). Also fixed some off-by-one errors, improved the presentation, and added/extended several remarks on possible generalizations. Now 22 pages, 8 figures