随机Volterra积分方程的奇异最优控制

本文研究随机Volterra积分方程的最优组合奇异与正则控制，其中解 X^{u,\xi}(t)=X(t) 由 X(t) =\phi(t)+\int_{0}^{t}}b(t,s,X(s),u(s)) ds+\int_{0}^{t}\sigma(t,s,X(s),u(s))dB(s) +\int _{0}^{t}\int_{0}^{t}h(t,s) d\xi(s) 给出。此处 dB(s) 表示布朗运动 Itô 型微分，\xi 表示奇异控制（关于 Lebesgue 测度在时间 t 上奇异），u 表示正则控制（关于 Lebesgue 测度绝对连续）。此类系统可用于例如建模具有记忆的种群收获，其中 X(t) 表示时刻 t 的种群密度，奇异控制过程 \xi 表示收获努力率。收获的总收益由 J(u,\xi) =E[\int _{0}^{T}\int_{0}^{T} f_{0}(t,X(t),u(t))dt+\int _{0}^{T}\int_{0}^{T} f_{1}(t,X(t))d\xi(t)+g(X(T))] 表示，其中 f_{0}、f_{1} 和 g 为给定函数，T>0 为常数表示收获的终止时间。注意允许控制为奇异是十分重要的，因为某些情况下最优控制正是此类形式。利用 Hida-Malliavin 微积分，我们证明了控制的充分与必要条件。由此，我们得到了一类具有奇异漂移的新型倒向随机 Volterra 积分方程。最后，为说明我们的结果，将其应用于讨论具有可能依赖于密度的价格的最优收获问题。