奇异Gauss和、$GL(2)$的Polya-Vinogradov不等式与本原元素的增长

我们建立了$GL(2, \F_p)$上经典Polya-Vinogradov不等式的类似结果，其中$p$为素数。在此过程中，我们计算了$GL(2, \F_p)$的“奇异”Gauss和。作为一个应用，我们证明：对于任一$\ep>0$，只要$x\gg p^{1/2+\ep}$，$GL(2,\Z)$中模$p$约化后在$GL(2, \F_p)$中阶最大且矩阵元素以$x$为界的元素的集合就具有期望的大小。特别地，存在$GL(2,\Z)$中矩阵元素阶为$O(p^{1/2+\ep})$的元素，其模$p$约化后是本原元素。