分段线性平面向量场中滑动与穿越极限环的同步出现

在本研究中，我们考虑由两个区域组成的平面分段线性向量场，区域由直线 $x=0$ 分隔。我们的目标是研究此类向量场同时存在穿越和滑动极限环的问题。首先，我们假设每个线性系统均为中心——$y<0$ 时为实中心，$y>0$ 时为虚中心，且实中心为全局中心——并给出这些系统的规范形。接着，通过一阶分段线性扰动，我们得到具有三个穿越极限环的分段线性微分系统。其次，我们发现经过二阶分段线性扰动后可检测到滑动环。最后，在强加存在滑动极限环的条件下，我们证明只能出现一个额外的穿越极限环。此外，我们还刻画了最大振幅极限环及无穷远点的稳定性。证明中使用的主要技术为 Melnikov 方法、具有正精度的扩展 Chebyshev 系统以及 Bendixson 变换。