Calkin-Wilf 枚举中源自首次出现时间的同步新现

我们研究首次出现映射 $\pi:\mathbb{N}_{\ge2}\to\mathbb{N}_0$，该映射为每个分母 $d$ 分配最早的广度优先索引，使得分母为 $d$ 的既约分数出现在 $\mathbb{Q}_{>0}$ 的 Calkin-Wilf 枚举中。同时，我们考虑基本分母优先阵列 $D=\big(U(2)\mid U(3)\mid U(4)\mid\cdots\big)$，其各行 $U(a)=(1/a,2/a,\dots,(a-1)/a)$，行首为 $i_0(a)=\frac{(a-2)(a-1)}{2}$。若 $\pi(a)=i_0(a)$，我们称层级 $a$ 锁定。我们的主定理是纯组合性的：对于每个 $n\ge2$，存在 $i\in\{0,\dots,n-2\}$ 使得分母 $n-i$ 和 $n+i$ 的首次出现围绕 $i_0(n)$ 对称对齐，即 $\pi(n\pm i)=i_0(n)\pm i$。我们通过对 $\pi$ 在某层级附近的局部相干性分析及离散介值论证证明了该配对（或同步新现）定理。一个等价的群论重述使用了 Calkin-Wilf 树与 Stern-Brocot 树底层的自由幺半群 $\langle L,R\rangle\subset SL_2(\mathbb{Z})$。