含裂缝多孔弹性材料中变形与流动的模拟

我们引入了一个耦合偏微分方程组，用于对具有单一静态裂缝的多孔弹性材料中的流体-流体及流体-固体相互作用进行建模。裂缝中的流体流动由低维 Darcy 方程建模，该方程与周围岩石基质及其包含的流体发生相互作用。我们显式地允许裂缝在区域内部终止，且裂缝宽度是问题的一个未知量。所得的弱问题是非线性的、椭圆的且对称的，并且可以赋予不动点问题的结构。我们证明了耦合的流体-流体问题在特制的 Sobolev 空间中存在解，即使裂缝宽度在裂缝尖端附近不能有远离零的下界。对于数值模拟，我们将用于岩石基质变形和孔隙压力的 XFEM 离散化与用于裂缝流动问题的标准低维有限元方法相结合。所得的耦合离散系统由通过非线性耦合条件耦合的线性子区域问题组成。我们使用子结构求解器求解该耦合系统，并观察到非常快的收敛速度。我们还观察到，即使存在裂缝尖端，离散误差也具有最优的网格依赖性。