基于单纯形的Steiner树实例对双向割松弛产生大完整性间隙

双向割松弛是双向松弛($\mathrm{\mathcal{BCR}}$)的特征代表，而后者是图 Steiner树问题(STP)这一NP难问题的著名等价LP松弛类。尽管已知基于 $\mathrm{\mathcal{BCR}}$ 的对STP近似比优于 $2$ 的通用近似算法尚不存在，但它在整数规划中多被优先用作STP的实现，因为存在紧规模的公式，在实践中非常有效。已知 $\mathrm{\mathcal{BCR}}$ 的完整性间隙至多为 $2$，而其完整性间隙是否小于 $2$ 是一个长期未决的开放问题。迄今最佳下界为由Byrka等人[BGRS13]证明的 $\frac{36}{31} \approx 1.161$。基于Chakrabarty等人[CDV11]关于通过适当对偶公式将STP实例嵌入单纯形的工作，我们改进了该结果，构造了一类新实例并证明其完整性间隙至少趋于 $\frac{6}{5} = 1.2$。更确切地说，我们考虑等价LP松弛类 $\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$，它可通过已有的直接Steiner顶点度约束加强 $\mathrm{\mathcal{BCR}}$ 得到，并证明 $\mathrm{\mathcal{BCR}}$ 与 $\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$ 最优值之间的最坏情况比率至少为 $\frac{6}{5}$。由于 $\mathrm{\mathcal{BCR}}^{+}$ 是超图松弛($\mathrm{\mathcal{HYP}}$)的下界——另一著名等价LP松弛类，而Byrka等人[BGRS13]基于它给出了当前最佳的STP $(\ln(4) + \varepsilon)$ 近似算法——该最坏情况比率对 $\mathrm{\mathcal{BCR}}$ 与 $\mathrm{\mathcal{HYP}}$ 同样成立。