针对若干几何穿刺问题标准 LP 松弛的阈值舍入法

在矩形穿刺问题中，给定 $\cR$ 为 $\RR^2$ 中的一组轴对齐矩形，目标是找到基数最小的水平及/或垂直线集合，使得每个矩形都被其中一条线相交。已知该问题的标准 LP 松弛具有 2 的积分间隙，而对于 $\cR$ 为水平线段集合这一特殊情况，已知存在更优的 1.58.. 的积分间隙。本文考虑另外两种特殊情况：$\cR$ 为水平与垂直线段集合，以及 $\cR$ 为单位正方形集合。我们证明在这两种情况下标准 LP 松弛的积分间隙均严格小于 $2$。我们的舍入技术基于 Kovaleva 与 Spieksma (SIAM J. Disc. Math 2006) 所用 {\it 阈值舍入} 思想的推广，该方法或可用于其他几何覆盖问题 LP 松弛的舍入。