有向 Steiner 树 LP 的积分间隙：相对积分解的情况

有向Steiner树（DST）问题定义在有向图G=(V,E)上，给出指定根顶点r和集合K⊆V\ {r}的k个终端。目标是找到最小成本的子图，为所有终端t∈K提供有向r→t路径。DST的近似性一直是网络设计中的核心开放问题。虽然存在以准多项式运行时间为界的多项式近似算法（Charikar等1998；Grandoni等2019；Ghuge和Nagarajan 2020），但截至目前，已知最好的多项式时间近似仍为k^ε，其中ε为任意常数。是否存在多项式时间算法实现多项式近似仍是未解之谜。本文提出了一种基于流的LP松弛形式，用于DST，在相对积分条件下具有多项式积分间隙——即存在分数解，其中每条边e要么不传递流量（f^t_e=0），要么使用其完整容量（f^t_e=x_e），其中f^t_e表示流变量，x_e表示被视为容量的指示变量。这与已知下界形成鲜明对比——标准基于流的松弛形式即使在相对积分解下也已知具有多项式积分间隙。事实上，所有已知的DST积分间隙实例均共享这一相对积分属性[Halperin等，SODA'07；Zosin-Khuller，SODA'02；Li-Laekhanukit，SODA'22]。我们进一步提供了一个随机化多项式时间算法，假设获得相对积分分数解，则给出O(log³k)的近似。