有向Steiner树流LP的多项式积整性间隙

在有向Steiner树（DST）问题中，给定一个有向图 $G=(V,E)$（含 $n$ 个顶点），边代价 $c \in \mathbb{R}_{\geq 0}^E$，根顶点 $r \in V$，以及终端集合 $K \subseteq V \setminus \{r\}$（含 $k$ 个终端）。目标是找到 $G$ 的最小代价子图，使其包含从 $r$ 到每个终端 $t \in K$ 的路径。数十年来DST一直是个棘手问题，因为已知最佳多项式时间近似比为 $O(k^\epsilon)$（任意常数 $\epsilon > 0$），而最佳拟多项式时间近似比为 $O\left(\frac{\log^2 k}{\log \log k}\right)$，二者差距巨大。为理解此差距，我们研究了该问题标准流LP松弛的整性间隙。我们证明该LP的整性间隙为 $\Omega(n^{0.0418})$。此前，仅知该LP的整性间隙在某些实例下为 $\Omega\left(\frac{\log^2n}{\log\log n}\right)$ [Halperin~et~al., SODA'03 \& SIAM J.~Comput.] 与 $\Omega(\sqrt{k})$ [Zosin-Khuller, SODA'02]，且其中 $\sqrt{k}=O\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)$。我们的结果给出了该标准LP整性间隙的首个关于顶点数 $n$ 的多项式下界。由此，我们排除了基于流LP松弛为该问题开发多对数近似算法的可能性。