有限阶点处四维 Sklyanin 代数的单模

1982 年 E.K. Sklyanin 定义了一族分次代数 $A(E,\tau)$，依赖于椭圆曲线 $E$ 和一个非 4- torsion 的点 $\tau \in E$。本文关注当 $\tau$ 为有限阶点（设为 $n$）时 $A$ 的结构。证明了每个单 $A$-模的维数 $\le n$，且“几乎所有”单模的维数恰为 $n$。存在足够的有限维单模来分离 $A$ 的元素；即若 $0\ne a \in A$，则存在单模 $S$ 使得 $a.S \ne 0.$ 因此 $A$ 满足次数为 $2n$ 的多项式恒等式（且不存在更低次数的）。结合 Levasseur 与 Stafford 的结果可得 $A$ 是其中心的有限模。因此可将一个相干层 ${\mathcal A}$（设为有限 ${\mathcal O}_S$ 代数层）关联到 $A$，其中 $S$ 是由 $A$ 的中心决定的射影 3-折。我们确定了 ${\mathcal A}$ 为 Azumaya 的位置，并证明除法代数 ${\rm Fract}({\mathcal A})$ 具有有理中心。从而，对每个 $E$ 和每个阶为 $n \ne 0,2,4$ 的 $\tau \in E$，得到 ${\mathbb P}^3$ 有理函数域上次数为 $s$ 的除法代数，其中若 $n$ 为奇数则 $s=n$，若 $n$ 为偶数则 $s={{1} \over {2}} n$。本文的主要技术工具是 M. Artin 引入的“胖点”概念。一个关键的预备结果是胖点的分类：它们由一个有理 3-折参数化。