张量的Sherman-Morrison-Woodbury恒等式

在线性代数中，Sherman-Morrison-Woodbury恒等式表明，某矩阵的一个秩-k修正之逆可以通过对原矩阵之逆做一个秩-k修正来计算。当矩阵涉及修正时，该恒等式对于加速矩阵求逆计算至关重要。许多科学和工程应用在更新矩阵后不得不处理这一矩阵求逆问题，例如线性系统的灵敏度分析、卡尔曼滤波中的协方差矩阵更新等。然而，张量中并不存在类似恒等式。本文中，我们首先推导可逆张量的Sherman-Morrison-Woodbury恒等式。由于并非所有张量都可逆，我们进一步利用修正张量部分到原张量及其Hermitian张量上的正交投影，将Sherman-Morrison-Woodbury恒等式推广到具有Moore-Penrose广义逆的张量。根据这一新建立的张量Sherman-Morrison-Woodbury恒等式，我们可以通过推导多线性系统解的标准化上界来进行多线性系统的灵敏度分析。还给出了若干数值例子以展示标准化误差上界如何受张量系数扰动程度的影响。