秩增广矩阵的 Sherman-Morrison-Woodbury 恒等式及其在中心化中的应用

本文考虑了形如 $\bf{A} + (\bf{V}_1 + \bf{W}_1)\bf{G}(\bf{V}_2 + \bf{W}_2)^*$ 的矩阵，其中 $\bf{A}$ 是一个 $奇异$ $\ell \times \ell$ 矩阵，$\bf{G}$ 是一个非奇异 $k \times k$ 矩阵，$k \le \ell$。令 $\bf{V}_1$ 的列在 $\bf{A}$ 的列空间内，$\bf{W}_1$ 的列与 $\bf{A}$ 正交。类似地，令 $\bf{V}_2$ 的列在 $\bf{A}^*$ 的列空间内，$\bf{W}_2$ 的列与 $\bf{A}^*$ 正交。在 $\bf{W}_i^* \bf{W}_i$ 的秩为 $k$ 的条件下，给出了其逆矩阵的显式表达式。%并且 $\bf{W}_1$ 和 $\bf{W}_2$ 具有相同的列空间。给出了将其应用于关于均值中心化协方差矩阵的示例。