偏代表性、张量积、延拓性质与秩不等式之间的相互作用

偏代表性 matroid 是 matroid 理论中的一个基本类，桥接了组合学和线性代数。在编码理论、优化和组合几何等领域发挥着重要作用，其中线性结构对于理论见解和算法应用至关重要。由于决定偏代表性是计算上不可行的，因此大量工作集中于识别 matroid 为偏代表性的必要或充分条件。在本文中，我们提出了一种新颖的研究偏代表性和 matroid 函数结构性质的方法，通过张量积进行。我们提供了偏代表性 matroid 以及可在给定素特征数的 skew field 上表示的 matroid 的表征。作为算法结果，我们表明，决定偏代表性，或在固定素特征数的 skew field 上表示，是 co 可枚举的：即，偏代表性的否定证书——无论是一般情况还是固定素特征数情况——都可以被验证。我们还证明每个秩-3 matroid 都可以与任意均匀 matroid 进行张量积，并给出一种构造，产生该情境下的唯一自由张量积。最后，作为张量积框架的应用，我们给出 Ingleton 不等式的新证明，并且更重要的是，推导出首个不遵循常见信息性质的折叠偏代表性 matroid 的线性秩不等式。