关于具有给定同阶类型的群的沈猜想

对任意群 $G$，我们定义等价关系 $\thicksim$ 如下：$$\forall \ g, h \in G \ \ g\thicksim h \Longleftrightarrow |g|=|h|$$ 关于此关系的等价类大小的集合称为 $G$ 的同阶类型，记为 $\alpha{(G)}$。在本文中，我们对沈提出的猜想给出部分回答。事实上，我们证明若 $G$ 是幂零群，则 $|\pi(G)|\leq |\alpha{(G)}|$，其中 $\pi(G)$ 是 $G$ 的阶的素因子集合。我们还研究了所有真子群（记为 $H$）满足 $|\alpha{(H)}|\leq 2$ 的群。