sharpening 三角不等式：$L^{2}$ 与 $L^{p}$ 空间之间的包络

受不等式 $\|f+g\|_{2}^{2} \leq \|f\|_{2}^{2}+2\|fg\|_{1}+\|g\|^{2}_{2}$ 的启发，Carbery (2006) 提出了如下问题：当 $p \neq 2$ 时，该估计在 $L^{p}$ 中的“正确”类比是什么。Carlen、Frank、Ivanisvili 和 Lieb (2018) 最近通过给出 $\|f+g\|_{p}^{p}$ 关于量 $\|f\|_{p}^{p}$、$\|g\|_{p}^{p}$ 和 $\|fg\|_{p/2}^{p/2}$ 的上界（当 $p \in(0,1] \cup [2,\infty)$ 时）和下界（当 $p \in (-\infty,0) \cup (1,2)$ 时）获得了该不等式的 $L^{p}$ 版本，从而证明（并改进）了 Carbery 所建议的可能不等式。我们沿此方向继续研究，改进 Carlen、Frank、Ivanisvili 和 Lieb 的估计。我们也给出了当 $p \in (-\infty,0) \cup (1,2)$ 时 $\|f + g\|_p^p$ 的上界，以及当 $p \in (0,1] \cup [2,\infty)$ 时的下界。对于 $p \in [1,2]$，我们将上界推广到任意有限个函数。此外，我们证明了对于所有 $p \in \mathbb{R}$、$p\neq 0$ 的 $\|f+g\|_{p}^{p}$ 的上、下界，就量 $\|f\|_{p}^{p}$、$\|g\|_{p}^{p}$ 和 $\|fg\|_{p/2}^{p/2}$ 而言均为最佳可能，并且刻画了等号成立的情形。