对于所有 $1\le p<\infty,$ $p\ne 2$，$L_p+L_\infty$ 与 $L_p\cap L_\infty$ 不同构

对称空间的同构分类是与任意 Banach 空间中对称结构的研究相关的一个重要问题。该研究始于 Johnson、Maurey、Schechtman 和 Tzafriri (JMST, 1979) 的开创性工作。随后，Kalton 于 1993 年将其推广至格结构。特别地，在 JMST 中（另见 Lindenstrauss-Tzafriri 著作 [1979, Section 2.f]）证明了，对于 $2 \leq p < \infty$ 的空间 $L_2 \cap L_p$（相应地，对于 $1 < p \leq 2$ 的 $L_2+L_p$）同构于 $L_p$。Dilworth 在 1988 年和 1990 年的论文中对 $L_p$-空间（即 $p<\infty$）的可分和与交集的各种性质进行了详细研究。与此相对，本文关注的是非可分空间 $L_p +L_{\infty}$ 与 $L_p \cap L_{\infty}$（$1\le p<\infty$）是否同构的问题。我们证明，当 $1 \leq p < \infty$ 且 $p \neq 2$ 时，这些空间不同构。这一结论源于以下事实：当 $1\le p<\infty$ 且 $p\ne 2$ 时，空间 $L_p \cap L_{\infty}$ 不包含同构于 $L_p$ 的补子空间。特别地，作为副产品，我们证明了 $L_p \cap L_{\infty}$ 包含同构于 $l_2$ 的补子空间当且仅当 $p = 2$。$L_2 +L_{\infty}$ 与 $L_2 \cap L_{\infty}$ 是否同构的问题仍然悬而未决。