Sobolev 与 Besov 空间流形宽度的精确下界

我们考虑确定 Sobolev 和 Besov 空间的流形 $n$-宽度的问题，其误差在 $L_p$-范数下度量。流形宽度控制了这些空间能被一般非线性参数化方法多高效地逼近，其限制条件是参数选择和参数化映射必须是连续的。现有的上界和下界仅在 Sobolev 或 Besov 平滑度指数 $q$ 满足 $q\leq p$ 或 $1 \leq p \leq 2$ 时才匹配。我们填补了这一空白，并针对所有存在紧嵌入的 $1 \leq p,q \leq \infty$ 获得了精确的下界。我们分析的关键部分是确定当 $p\leq q$ 时，$\ell_p$-范数下有限维 $\ell^M_q$-球的流形宽度的精确值。尽管这一结果并非新知，但我们提供了一个新的证明，并将其应用于下界估计 Sobolev 和 Besov 空间的流形宽度。我们的结果表明，通常用于下界估计流形宽度的 Bernstein 宽度，在许多情况下其衰减渐近地快于流形宽度。