一类线性系统 Orthomin(k) 收敛率的精确估计

在本文中，我们证明了应用于形如 $(I+\rho U) x = b$ 系统（其中 $U$ 为酉算子且 $0<\rho<1$）的 Orthomin($k$) 的收敛率小于或等于 $\rho$。此外，我们给出了渐近收敛率恰好等于 $\rho$ 的算子 $U$ 和 $\rho>0$ 的例子，从而表明该估计是精确的。虽然所考察的系统本身可能意义不大，但它们的存在表明，一般情况下 Orthomin($k$) 的收敛速度不会快于 Orthomin(1)。进一步地，我们给出了这样一些系统的例子：当 $k\ge 2$ 时，Orthomin($k$) 的渐近收敛率与 Orthomin(2) 相同，但小于 Orthomin(1) 的渐近收敛率。后者这类系统与某些偏微分方程的数值求解相关。