任意阶 Davenport-Schinzel 序列的紧致界

计算几何中悬而未决时间最长的问题之一是对 $n$ 个单变量函数的下包络进行界定，其中每对函数最多相交 $s$ 次，$s$ 为某个固定值。已知该问题等价于界定 $s$ 阶 Davenport-Schinzel 序列的长度，即在 $n$ 个字母的字母表上、避免形如 $a \cdots b \cdots a \cdots b \cdots$ 且长度为 $s+2$ 的交替子序列的序列。这些序列由 Davenport 和 Schinzel 于 1965 年引入，用于对微分方程中的某一问题进行建模，此后被应用于界定几何算法的运行时间、数据结构以及几何排列的组合复杂度。设 $\lambda_s(n)$ 为 $n$ 个字母上 $s$ 阶 DS 序列的最大长度。$\lambda_s$ 的渐近行为是什么？当 $s$ 为偶数或 $s\le 3$ 时，这个问题已得到圆满解答（由 Hart 和 Sharir、Agarwal、Sharir 和 Shor、Klazar 以及 Nivasch 完成）。然而，自 Agarwal、Sharir 和 Shor 在 20 世纪 80 年代中期的工作以来，我们对奇数阶的理解一直存在持续的差距。在这项工作中，我们通过建立任意阶 $s$ 的 Davenport-Schinzel 序列的紧致界，有效地解决了该问题。我们的结果表明，与直觉相反，当 $s$ 为奇数时，$\lambda_s(n)$ 的行为本质上类似于 $\lambda_{s-1}(n)$。这反驳了 Alon 等人（2008 年）和 Nivasch（2010 年）的猜想。