构造稀疏 Davenport-Schinzel 序列

对于任意序列 $u$，极值函数 $Ex(u, j, n)$ 是避免 $u$ 的具有 $n$ 个不同字母的 $j$-稀疏序列的最大可能长度。我们证明，若 $u$ 是长度为 $s$ 的交替序列 $a b a b \dots$，则对所有 $j \geq 2$ 和 $s \geq n$ 有 $Ex(u, j, n) = \Theta(s n^{2})$，这回答了 Wellman 与 Pettie [Lower Bounds on Davenport-Schinzel Sequences via Rectangular Zarankiewicz Matrices, Disc. Math. 341 (2018), 1987--1993] 的一个问题，并推广了 Roselle 与 Stanton 关于对任意长度 $s \geq n$ 的交替 $u$ 有 $Ex(u, 2, n) = \Theta(s n^2)$ 的结果 [Some properties of Davenport-Schinzel sequences, Acta Arithmetica 17 (1971), 355--362]。Wellman 与 Pettie 还问到，要使存在长度为 $\Omega(n^{2-o(1)})$ 的 $n$-块 $DS(n, s(n))$ 序列，$s(n)$ 必须多大。我们通过证明 $n$-块 $DS(n, s(n))$ 序列的最大可能长度为 $\Omega(n^{2-o(1)})$ 当且仅当 $s(n) = \Omega(n^{1-o(1)})$ 来回答此问题。我们还展示了关于具有任意常数行数的禁戒 0-1 矩阵的极值函数以及具有任意常数个不同字母的禁戒序列的极值函数的相关结果。