关于$\mathbb{N}^d$上强单调降链的长度

Künnemann、Mazowiecki、Schütze、Sinclair-Banks和Wegrzycki（ICALP，2023）近期取得突破，将一元编码下d维向量加法系统的覆盖问题的运行时间上界改进为$n^{2^{O(d)}}$，优于Rackoff的$n^{2^{O(d\lg d)}}$上界（Theor. Comput. Sci.，1978），并给出了条件匹配下界。本文在该突破的视角下重新审视Lazić和Schmitz对后向覆盖算法的“理想视图”（Inform. Comput.，2021）。我们证明，由Lazić和Schmitz的对偶后向覆盖算法在d维一元向量加法系统上产生的$\mathbb{N}^d$上向下封闭集的受控强单调降链，其长度同样满足紧的$n^{2^{O(d)}}$上界，并且这也可转化为后向覆盖算法运行时间的相同上界。此外，我们的分析所处的设定比Lazić和Schmitz的更一般，从而能够得出相同结果并改进Benedikt、Duff、Sharad和Worrell（LICS，2017）针对可逆仿射网覆盖问题导出的2EXPSPACE上界。