Triangleland 的 Jacobi 与民主线性椭圆度量的形状(无)关不等式

边与中线均为 Jacobi 坐标模长,且均衡地进入 Kendall 形状球上的球坐标与 Hopf 坐标。这促使在三角几何及由此产生的形状理论中把中线与边同等对待。本文据此将中线的不等式用形状量重新表述,并进一步给出质量加权 Jacobi 坐标上的不等式。此外,本工作将理论中频繁出现的 $4/3$ 次幂识别为 Jacobi 质量之比。Hopf 坐标之一为四面积。另一为异等腰度,它参数化三角形相对于等腰本身所界定的左倾或右倾。第三为椭圆度,它参数化三角形相对于正三角形所界定的高瘦或扁平。四面积显然为团簇选择不变,而 Jacobi 坐标、异等腰度与椭圆度依赖于团簇选择,但可通过在所有团簇上平均而“民主化”。进而民主化的椭圆度平凡化,因为椭圆度是底边与第二中线矩之差,其平均值彼此相等。因此我们引入一个不同的“线性椭圆度”量词以刻画三角形的高瘦或扁平,其民主化非平凡,并给出界定它的不等式。本文部分不等式为形状无关界,其余的界则依赖于等周比与边算术-几何平均比形状变量。