椭圆曲面周期的非线性微分方程

设 $f:X\to C$ 为一般雅可比椭圆曲面。则本原上同调 $H^{1,1}_{prim}(X)$ 具有（至多差一个符号）由某些第二类亚纯2形式 $\eta_i$ 给出的自然标准正交基 $(\eta_i)_{i\in [1, N]}$，每个对应于分类态射 $\phi$ 从 $C$ 到广义椭圆曲线栈的分歧点之一。（此处 $N$ 可取为 $h^{1,1}_{prim}(X)$、$X$ 的模数个数或 $\phi$ 的分歧次数；这些数相等。）椭圆曲线栈上的局部坐标选择通过 $\phi$ 的分支轨迹，在雅可比椭圆曲面栈上给出了étale局部坐标系 $(t_i)_{i\in [1, N]}$。主要结果是高斯-曼因联络的截断给出了由 $H=[\eta_1,\ldots, \eta_N]$ 满足的非线性偏微分方程组 $$\{\partial_i H=(\partial_i \eta_i\wedge\eta_i)H\}_{i\in [1, N]}$$，其中 $\partial_i =\partial/\partial t_i$，且秩为2的偏斜张量 $\partial_i \eta_i\wedge\eta_i$ 是 $\eta_i$ 的离心率（粒子 $\eta_i$ 相对于 $t_i$ 瞬时运动的平面）。此外，在整系数上同调刚化后，$H$ 可被解释为提供这些曲面的周期映射，取值于复正交群 $O_N$，我们证明了该映射的通用无穷小Torelli定理。对于有理椭圆曲面，这可以显式计算。