关于圆环域中调和场的泊松映射的形状微分

本文采用形状变分方法研究圆环域中调和场的泊松映射。给定有界域 $\mathbb{R}^3$，我们将其调和场定义为curl-free且切向于边界的磁场集合。对于圆环域，该空间是一维的，因而可通过指定自由度（例如沿环形循环的循环）来单独确定一个调和场。我们然后对这些场限制在边界上的泊松映射感兴趣，这些映射产生圆环的微分同构。我们首先证明了此类泊松映射在光滑范畴中的一般形状可微性结果，并获得了一般的形状导数公式。我们 then 研究了两个感兴趣的具体实例：轴对称域以及调和场在边界上具有 Diophantine 旋转数的域。我们证明，在第一种情况下，泊松映射的形状导数始终为零，而在第二种情况下，在域的几何学额外条件下，泊松映射的形状导数可以通过对域进行适当扰动而可以是圆环的任意光滑函数。