Sesqui-array：三重阵列的推广

三重阵列是一个包含字母的矩形阵列，每个字母出现次数相同且在行或列中不重复，使得两行、两列或一行与一列之间共有的字母数量为（可能不同的）非零常数。删除对一行与一列共有字母的条件后得到双阵列。当仅删除对列对的条件时，我们提议将此类阵列称为\emph{sesqui-array}。因此所有三重阵列都是sesqui-array。在本文中，我们给出了sesqui-array的三种构造。第一种针对$n\geq 2$，在$n(n+1)$个字母上构造$(n+1)\times n^2$阵列。（$n=2$的此类阵列由Bagchi发现。）该构造使用拉丁方。第二种使用Hoffman--Singleton图的子图Sylvester图，为$36$个处理构建了一个包含$42$个大小为~$6$的区组的良好区组设计，然后将其用于$42$个字母的$7\times 36$ sesqui-array。我们还给出了在$K(K-1)/2$个字母上构造$K\times(K-1)(K-2)/2$ sesqui-array的方法。该构造使用双平面。它从一个双平面的区组开始，生成一个满足sesqui-array要求的阵列，但可能不满足行或列中没有重复字母的要求。我们证明该条件成立当且仅当选定区组的\emph{Hussain链}不包含$4$-环。该构造给出三重阵列的充分条件是每条Hussain链是$3$-环的并集；但此条件不是必要的，我们给出了几个进一步的例子。我们还讨论了这些阵列中哪些能为实验提供良好设计的问题。