Hartree 方程含调和势的（半）经典极限

Hartree 类型的非线性薛定谔方程（NLS）出现在量子半导体器件的建模中。其消失的（缩放的）普朗克常数的“半经典”极限既是一个数学挑战，也在将量子模型与经典模型耦合时具有实际意义。以描述含附加调和势的 3D Schrödinger–Poisson 系统的半经典极限为目标，我们研究了空间维数 n>1 时含调和势的 Hartree 方程的若干半经典极限。调和势是约束性的，并导致随时间周期性的聚焦。我们在几种情形下证明渐近性，展示了根据初始数据大小与 Hartree 势幂次之间的相互作用而出现的不同可能的非线性现象。对于含调和势的 3D Schrödinger-Poisson 系统，我们只能给出形式计算，因为此长程散射情形所需修正散射算子超出了当前理论。我们也处理了由局部密度之幂次给出的附加“局部”非线性的情形——一个在将 Pauli 原理纳入由“Schrödinger-Poisson-X$\alpha$ 方程”给出的最简模型时相关的模型。进一步，我们讨论了基于 WKB 的分析与半经典极限的 Wigner 函数方法之间的联系。