二分量Degasperis-Procesi浅水系统的自相似爆破解

本文研究二分量Degasperis-Procesi水系统的自相似解：% [c]{c}% \rho_{t}+k_{2}u\rho_{x}+(k_{1}+k_{2})\rho u_{x}=0 u_{t}-u_{xxt}+4uu_{x}-3u_{x}u_{xx}-uu_{xxx}+k_{3}\rho\rho_{x}=0。通过分离变量法，我们得到一类自相似解：% [c]{c}% \rho(t,x)=\max(\frac{f(\eta)}{a(4t)^{(k_{1}+k_{2})/4}},\text{}0),\text{}u(t,x)=\frac{\overset{\cdot}{a}(4t)}{a(4t)}x \overset{\cdot\cdot}{a}(s)-\frac{\xi}{4a(s)^{\kappa}}=0,\text{}a(0)=a_{0}% \neq0,\text{}\overset{\cdot}{a}(0)=a_{1} f(\eta)=\frac{k_{3}}{\xi}\sqrt{-\frac{\xi}{k_{3}}\eta^{2}+(\frac{\xi}{k_{3}}\alpha) ^{2}}% 其中 $\eta=\frac{x}{a(s)^{1/4}}$，$s=4t$；$\kappa=\frac{k_{1}}{2}$ $\alpha\geq0,$ $\xi<0$，$a_{0}$ 和 $a_{1}$ 为常数。解的局部或全局行为可由相应的Emden方程确定。所得结果与二分量Camassa-Holm方程的结果非常相似。我们的解析解可为检验该系统的数值方法的有效性和稳定性提供具体算例。利用特征线法，还研究了 $k_{3}\geq0$ 时的爆破现象。