多维Riesz分数阶扩散方程的二阶LOD多重网格方法

我们提出了一种用于求解有限区域上变系数多维Riesz分数阶扩散方程的局部一维(LOD)有限差分方法。该数值方法在空间和时间方向上均具有二阶收敛性，并严格证明了其无条件稳定性。与分数阶算子常用的一阶有限差分方法相比，所得矩阵代数方程的形式由 $(I-A)u^{k+1}=u^k+b^{k+1}$ 变为 $(I-{\widetilde A})u^{k+1}=(I+{\widetilde B})u^k+{\tilde b}^{k+1/2}$；三个矩阵 $A$、${\widetilde A}$ 和 ${\widetilde B}$ 均为类Toeplitz矩阵，即它们具有完全相同的结构，且矩阵向量乘法的计算量为 $\mathcal{O}(N {log} N)$；求解这两个矩阵代数方程的计算开销几乎相同。采用LOD-多重网格方法求解所得的矩阵代数方程，其计算量为 $\mathcal{O}(N {log} N)$，所需存储空间为 $\mathcal{O}(N)$，其中 $N$ 为网格点数。最后，进行了大量数值实验，以展示二阶格式和LOD-多重网格方法的强大能力。