作用于混合范数 Lebesgue 空间上的积分核的 Schur 型 Banach 模

Schur 检验指出,若 $K:X\times Y\to\mathbb{C}$ 满足 $\int_Y |K(x,y)|d\nu(y)\leq C$ 且 $\int_X |K(x,y)|d\mu(x)\leq C$,则相应的积分算子在 $L^p$ 上对所有 $p\in [1,\infty]$ 有界。我们导出该结果的一个变体,保证其在(加权)混合范数 Lebesgue 空间 $L_w^{p,q}$ 上对所有 $p,q\in [1,\infty]$ 有界。对于非负积分核,我们的判据是尖锐的;即,它成立当且仅当该积分算子在全部混合范数 Lebesgue 空间上有界作用。受此判据启发,我们引入积分核的实 Banach 模 $\mathcal{B}_m(X,Y)$,使得在权重 $v,w$ 为 $m$-moderate 时,所有 $\mathcal{B}_m(X,Y)$ 中的核将所有 $p,q \in [1,\infty]$ 下的 $L_w^{p,q}(\nu)$ 有界地映射到 $L_v^{p,q}(\mu)$。反之,若 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是实 Banach 空间,且所有核 $K\in\mathcal{B}_m(X,Y)$ 将 $\mathbf{A}$ 映入 $\mathbf{B}$,则 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 与混合范数 Lebesgue 空间相关;即,对依赖于权重 $m$ 的某些权重 $v,w$,有 $\left(L^1\cap L^\infty\cap L^{1,\infty}\cap L^{\infty,1}\right)_v\hookrightarrow\mathbf{B}$ 且 $\mathbf{A}\hookrightarrow\left(L^1 + L^\infty + L^{1,\infty} + L^{\infty,1}\right)_{1/w}$。核代数 $\mathcal{B}_m(X,X)$ 特别适用于(广义)coorbit 理论中的应用:通常,为保证 coorbit 空间理论对给定连续标架 $\Psi$ 和 Banach 空间 $\mathbf{A}$ 可用,需验证大量技术性条件。我们证明只需检验与 $\Psi$ 相关的某些积分核属于 $\mathcal{B}_m(X,X)$;这就确保所有 $p,q\in [1,\infty]$ 及所有与 $m$ 相容的权重 $\kappa$ 下 coorbit 空间 $\operatorname{Co}_\Psi (L_\kappa^{p,q})$ 良定义。