一维量子自旋链中互信息距离的尺度关系

我们引入一种几何尺度关系，用于表征量子自旋链中关联的局部尺度行为，信息距离 $d_E = K_0/\sqrt{I}$，其中 $I$ 为互信息。我们定义几何转换因子 $G \equiv \partial_r d_E$，以量化局部尺度。我们证明 $G$ 直接与 $I$ 相关，满足 $G \propto I^{\kappa}$。对于具有幂律关联的系统 $I(r) \sim r^{-X}$，度量尺度指数为 $\kappa = 1/X - 1/2$。一个关键结果是，几何尺度 $G$ 在位置上均匀（即位置无关）当且仅当 $\kappa = 0$，这恰好发生在 $X = 2$ 时。这表明 $X = 2$ 是唯一实现均匀且度量信息距离的条件。我们通过 DMRG 模拟 1D XXZ 链和 XX 模型的精确结果来验证这一关系。我们展示了两种可验证的诊断方法：(i) 在临界性 ($X \approx 2$) 时 $G(r)$ 在体内平坦，但在有能隙时强烈变化；(ii) 对 XX 基准 ($X = 2$) 处 $\log G$ 相对于 $\log I$ 的斜率进行坐标无关的测试可得 $\kappa \simeq 0$。该方法提供了一种用于识别尺度制的、坐标无关的方法，帮助消除标准幂律分析中非普适振幅和拟合选择带来的歧义，并定义了一个可直接应用于数值或实验互信息数据的简单后处理流程。