二维瑞利-贝纳尔对流中的标度律

推导了在高度为 $L$ 的二维或三维瑞利-贝纳尔系统中平均动能 $E$ 的演化方程。假设经典的努塞尔数标度律 $Nu \sim Ra^{1/3}$，并且在无下尺度能量级串的情况下，平均涡度拟能标度为 $\sim E/L^2$，我们发现二维系统中的雷诺数标度为 $Re \sim Pr^{-1}Ra^{2/3}$，其中 $Ra$ 是瑞利数，$Pr$ 是普朗特数，这比三维系统中的标度律强得多。利用演化方程和雷诺数标度律，可以证明 $\tilde{\tau} > c Pr^{-1/2}Ra^{1/2}$，其中 $\tilde{\tau}$ 是无量纲收敛时间尺度，$c$ 是无量纲常数。对于三维系统，我们估计当 $Pr = 1$ 时，$\tilde{\tau} \gtrsim Ra^{1/6}$。据估计，在模拟中达到高 $Ra$ 极限的总计算成本在二维和三维之间是可比的。将分析结果与直接数值模拟（DNS）数据进行比较，得出结论：'终极态'理论在二维中不成立。尽管二维和三维系统在 $Re$ 和 $\tilde{\tau}$ 的标度上存在巨大差异，但努塞尔数的标度律是相似的。这一观察支持了 Malkus (1954) 的假设，即热传递并非由对流腔内部的动力学调节，而是由边界层内的动力学调节。