Scaled-cPIKANs：基于Chebyshev的物理信息Kolmogorov-Arnold网络中的域缩放

偏微分方程（PDE）是许多科学与工程问题建模的核心。物理信息神经网络（PINN）通过将控制方程嵌入神经网络损失函数，已成为求解 PDE 的有前途工具。然而，当处理在大计算域上具有强振荡动力学的 PDE 时，基于多层感知机（MLP）的 PINN 通常表现出较差的收敛性和降低的精度。为应对这些挑战，本文引入了 Scaled-cPIKAN，一种基于 Kolmogorov-Arnold 网络（KAN）的物理信息架构。Scaled-cPIKAN 将 Chebyshev 多项式表示与域缩放方法相结合，该方法将 PDE 中的空间变量变换到 Chebyshev 多项式内在要求的标准化域 $[-1,1]^d$。通过结合基于 Chebyshev 的 KAN（cKAN）的灵活性与 PINN 的物理驱动原理以及空间域变换，Scaled-cPIKAN 能够在扩展的空间域上高效表示振荡动力学，同时提高计算性能。我们使用四个基准问题展示了 Scaled-cPIKAN 的有效性：扩散方程、Helmholtz 方程、Allen-Cahn 方程，以及反应扩散方程的正向和逆向形式（含和不含噪声数据）。我们的结果表明，Scaled-cPIKAN 在所有测试案例中均显著优于现有方法。特别是，它实现了数个数量级的更高精度和更快的收敛速度，使其成为逼近在大空间域上具有振荡行为的 PDE 解的高效工具。