用于无界区域中反问题的物理信息神经网络

反问题在应用数学中被广泛研究，应用范围从医学诊断的声学断层扫描到地球物理勘探。物理信息神经网络 (PINNs) 已成为解决此类问题的强大工具，而物理信息柯尔莫哥洛夫-阿诺德网络 (PIKANs) 代表了一个近期的基准，在某些问题中，由于其由多项式复合构成的本质，相比 PINNs 承诺了更强的可解释性和准确性。在本工作中，我们开发了一种处理无限和半无限区域中反问题的方法论。我们引入了一种新颖的采样策略用于网络的训练点，使用负指数分布和正态分布，同时采用双网络架构，通过相同的损失函数训练以学习方程的解和参数。这种设计使得无需显式施加边界条件即可求解反问题，只要解在离开感兴趣区域时趋于稳定。所提出的架构分别使用 PINNs 和 PIKANs 实现，并在相对于已知解的准确性以及计算时间和对噪声环境的响应方面对其性能进行了比较。我们的结果表明，在这种设定下，PINNs 提供了更准确且计算效率更高的解，求解反问题的速度快了 1000 倍且在同一数量级，同时相对误差低于 PIKANs。