圣诞老人问题邂逅 Makespan 与拟阵：算法与归约

本文研究调度与公平分配中两个基本问题的关联：无关并行机上的 makespan 最小化与最大最小公平分配（亦称圣诞老人问题）。这两个问题的最佳近似比均是著名的开放问题；更确切地说，前者是否存在优于 2 的近似，以及后者是否存在常数近似。尽管两问题直觉上相关，且历史表明技术常可相互迁移，但已知的正式归约尚不存在。我们首先通过将圣诞老人问题归约到 makespan 最小化，表明前者开放问题的肯定回答意味着后者同样成立。我们还证明，对于仅含两个输入值的问题实例，两问题等价。接着我们转向称为“受限分配”的特例，该特例在两问题中均被广泛研究。尽管我们的归约未保持此特例的特征，我们给出了一个稍许推广中的归约：其中作业或资源在拟阵约束下分配给多台机器或多个参与者，且此外仅有两值。这描绘出与先前相似的图景：两值下等价，且圣诞老人问题的一般情形只可能比 makespan 最小化更易。为补全图景，我们利用受限分配中局部搜索方法的非平凡扩展，给出了圣诞老人问题这一新拟阵变体的算法。由此我们统一、推广并改进了若干先前结果。我们相信该拟阵推广可能具有独立意义，并给出若干示例应用。