圣诞老人问题、超图与拟阵的故事

调度与近似算法中的一个著名问题是圣诞老人问题。假设圣诞老人有一组礼物，他想将它们分发给一组孩子，使得最不开心的孩子尽可能开心。这里，孩子 $i$ 对礼物 $j$ 的估值形式为 $p_{ij} \in \{ 0,p_j\}$。Annamalai 等人提出的多项式时间算法给出了 $12.33$-近似，其基于 Haxell 超图匹配论证的修正。在本文中，我们引入了圣诞老人问题的拟阵版本。我们的算法同样基于 Haxell 的增广树，但通过引入拟阵结构，我们以更简洁的方法解决了一个更一般的问题。我们的结果随后可作为黑盒用于获得圣诞老人问题的 $(6+\varepsilon)$-近似。该因子还可与圣诞老人问题的自然紧致 LP 进行比较。