组合圣诞老人问题：或非均匀超图中如何寻找良好匹配

我们考虑顶点集为 $P\cup R$ 的超图，其中每条超边恰好包含 $P$ 中的一个顶点。我们的目标是选择一个覆盖所有 $P$ 的匹配，但允许每条被选中的超边丢弃其与 $R$ 的交集中除 $(1/\alpha)$ 比例以外的所有部分（从而放宽匹配约束）。这里 $\alpha$ 需最小化。我们称此问题为组合圣诞老人问题，因为本文表明该问题与圣诞老人问题在可近似性方面几乎等价。任何一致正则超图对 $\alpha = O(1)$ 存在松弛匹配这一非平凡观察，是获得圣诞老人问题特例常数近似率的重要一步，该特例在文献中备受关注。自然的问题是均匀性条件是否可以省略。我们的主要结果是，当所有超边都足够大时（此为必要条件），每个（非均匀）正则超图对 $\alpha = O(\log\log(|R|))$ 存在松弛匹配。特别地，这蕴含了针对具有大超边的组合圣诞老人问题的 $O(\log\log(|R|))$-近似算法。