给圣诞老人更好的树

我们重新审视最大最小度有向树问题，该问题由Bateni等人[STOC'09]作为广义圣诞老人问题的核心特例引入，而圣诞老人问题是近似算法中一个臭名昭著的开放问题。在前一问题中，给定一个具有源点和汇点的有向图，我们的目标是找到根植于源点的顶点不相交有向树，使得在有向树中每个非汇点顶点的出度至少为$k$，其中$k$要被最大化。该问题尤其引人关注，因为它似乎捕捉了圣诞老人问题的诸多难点：(1) 如同圣诞老人问题，配置LP在此情形下具有大的积分间隙；(2) Bateni等人先前的进展很快被推广到圣诞老人问题(Chakrabarty等人[FOCS'09])。这些结果仍是圣诞老人问题和最大最小度有向树问题的最先进水平，并且它们在拟多项式时间内给出了多对数近似。我们对此提出了指数级改进，即在拟多项式时间内对最大最小度有向树问题给出$\mathrm{poly}(\log\log n)$-近似。据我们所知，这是在配置LP无法被利用的圣诞老人问题特例中打破对数屏障的第一个例子。